Algebraiske udtryk er kendt som kombinationen af bogstaver, tegn og tal i matematiske operationer. Normalt repræsenterer bogstaverne ukendte størrelser og kaldes variabler eller ukendte. Algebraiske udtryk tillader oversættelser til det matematiske sprog udtryk for almindeligt sprog. Algebraiske udtryk stammer fra forpligtelsen til at oversætte ukendte værdier til tal, der er repræsenteret med bogstaver. Den gren af matematik, der er ansvarlig for studiet af disse udtryk, hvor tal og bogstaver vises, såvel som tegn på matematiske operationer, er Algebra.
Hvad er algebraiske udtryk
Indholdsfortegnelse
Som nævnt før er disse operationer intet andet end kombinationen af bogstaver, tal og tegn, der senere bruges i forskellige matematiske operationer. I algebraiske udtryk har bogstaverne opførsel af tal, og når de tager dette kursus, bruges mellem et og to bogstaver.
Uanset hvilket udtryk du har, er det første at gøre at forenkle, dette opnås ved hjælp af egenskaberne for operation (er), der svarer til de numeriske egenskaber. For at finde den numeriske værdi af en algebraisk operation skal du erstatte et bestemt tal for brevet.
Mange øvelser kan udføres på disse udtryk, og de vil blive udført i dette afsnit for at forbedre forståelsen af det pågældende emne.
Eksempler på algebraiske udtryk:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Algebraisk sprog
Det algebraiske sprog er et, der bruger symboler og bogstaver til at repræsentere tal. Dets vigtigste funktion er at etablere og strukturere et sprog, der hjælper med at generalisere de forskellige operationer, der finder sted inden for aritmetik, hvor kun tal og deres elementære aritmetiske operationer (+ -x%) forekommer.
Det algebraiske sprog sigter mod at etablere og designe et sprog, der hjælper med at generalisere de forskellige operationer, der er udviklet inden for aritmetik, hvor kun tal og deres grundlæggende matematiske operationer bruges: addition (+), subtraktion (-), multiplikation (x) og division (/).
Det algebraiske sprog er præget af dets præcision, da det er meget mere konkret end det numeriske sprog. Gennem det kan sætninger udtrykkes kort. Eksempel: Sættet med multipler på 3 er (3, 6, 9, 12…) udtrykkes 3n, hvor n = (1, 2, 3, 4…).
Det giver mulighed for at udtrykke ukendte tal og udføre matematiske operationer med dem. Eksempel, summen af to tal udtrykkes således: a + b. Understøtter udtryk for generelle numeriske egenskaber og sammenhænge.
Eksempel: kommutativ egenskab udtrykkes således: axb = bx a. Ved at skrive ved hjælp af dette sprog kan ukendte størrelser manipuleres med enkle symboler til at skrive, hvilket muliggør forenkling af sætninger, formulering af ligninger og uligheder og studiet af, hvordan man løser dem.
Algebraiske tegn og symboler
I algebra bruges både symboler og tegn i sætteori, og disse udgør eller repræsenterer ligninger, serier, matricer osv. Bogstaverne udtrykkes eller navngives som variabler, da det samme bogstav bruges i andre problemer, og dets værdi finder forskellige variabler. Nogle af klassificeringen algebraiske udtryk inkluderer følgende:
Algebraiske fraktioner
En algebraisk fraktion er kendt som en, der er repræsenteret ved kvotienten af to polynomer, der viser lignende opførsel til numeriske fraktioner. I matematik kan du arbejde med disse brøker ved at udføre multiplikation og division. Derfor skal det udtrykkes, at den algebraiske fraktion er repræsenteret af kvotienten af to algebraiske udtryk, hvor tælleren er udbyttet og nævneren deleren.
Blandt egenskaberne ved algebraiske fraktioner kan det fremhæves, at hvis nævneren divideres eller ganges med den samme størrelse, der ikke er nul, ændres fraktionen ikke. Forenklingen af en algebraisk brøkdel består i at omdanne den til en brøkdel, der ikke længere kan reduceres, hvilket er nødvendigt for at faktorere de polynomer, der udgør tælleren og nævneren.
Klassificering algebraiske udtryk afspejles i følgende typer: ækvivalent, enkel, korrekt, forkert, sammensat af tæller eller nulnævner. Så vil vi se hver af dem.
Ækvivalenter
Dette aspekt står over for, når krydsproduktet er det samme, det vil sige, når resultatet af fraktionerne er det samme. For eksempel vil disse to algebraiske fraktioner: 2/5 og 4/10 være ækvivalente, hvis 2 * 10 = 5 * 4.
Enkel
De er dem, hvor tælleren og nævneren repræsenterer heltal rationelle udtryk.
Egen
De er enkle brøker, hvor tælleren er mindre end nævneren.
Upassende
De er enkle brøker, hvor tælleren er lig med eller større end nævneren.
Sammensatte
De er dannet af en eller flere fraktioner, der kan placeres i tælleren, nævneren eller begge dele.
Nul tæller eller nævner
Opstår, når værdien er 0. I tilfælde af at have en 0/0 fraktion, vil den være ubestemt. Når du bruger algebraiske fraktioner til at udføre matematiske operationer, skal der tages højde for nogle karakteristika ved operationer med numeriske brøker, for at starte det mindst almindelige multiple skal findes, når nævnerne har forskellige cifre.
I både division og multiplikation udføres og udføres operationer på samme måde som med numeriske brøker, da disse tidligere skal forenkles så længe som muligt.
Monomialer
Monomiale er almindeligt anvendte algebraiske udtryk, der har en konstant kaldet koefficienten og en bogstavelig del, som er repræsenteret med bogstaver og kan hæves til forskellige kræfter. For eksempel har det monomiale 2x² 2 som sin koefficient, og x² er den bogstavelige del.
Ved flere lejligheder kan den bogstavelige del bestå af en multiplikation af ukendte, for eksempel i tilfælde af 2xy. Hver af disse bogstaver kaldes ubestemt eller variabel. Et monomium er en type polynom med et enkelt udtryk, derudover er der muligheden for at være foran lignende monomier.
Elementer af monomier
Givet monomialet 5x ^ 3; Følgende elementer skelnes:
- Koefficient: 5
- Bogstavelig del: x ^ 3
Produktet af monomier er koefficienten, der refererer til det antal, der vises ved at gange den bogstavelige del. Normalt placeres den i starten. Hvis produktet af monomier har en værdi på 1, skrives det ikke, og det kan aldrig være nul, da hele udtrykket ville have en værdi på nul. Hvis der er noget at vide om monomiale øvelser, er det følgende:
- Hvis et monomium mangler en koefficient, er det lig med en.
- Hvis et udtryk ikke har nogen eksponent, er det lig med et.
- Hvis en bogstavelig del ikke er til stede, men er påkrævet, betragtes den som en eksponent på nul.
- Hvis intet af dette stemmer overens, så har du ikke at gøre med monomiale øvelser, kan du endda sige, at den samme regel findes med øvelserne mellem polynomer og monomier.
Tilsætning og subtraktion af monomier
For at kunne udføre summer mellem to lineære monomier er det nødvendigt at beholde den lineære del og tilføje koefficienterne. I subtraktionerne af to lineære monomier skal den lineære del holdes som i summen for at være i stand til at trække koefficienterne, så ganges koefficienterne, og eksponenterne tilføjes med de samme baser.
Multiplikation af monomier
Det er et monomial, hvis koefficient er produktet eller resultatet af koefficienterne, som har en bogstavelig del, der er opnået ved multiplikation af kræfter, der har nøjagtig den samme base.
Opdeling af monomier
Det er intet andet end et andet monomium, hvis koefficient er kvotienten af de opnåede koefficienter, der desuden har en bogstavelig del opnået fra inddelingen mellem magterne, der har nøjagtig den samme base.
Polynomer
Når vi taler om polynomer, henviser vi til en algebraisk operation af addition, subtraktion og ordnet multiplikation lavet af variabler, konstanter og eksponenter. I algebra kan et polynom have mere end en variabel (x, y, z), konstanter (heltal eller fraktioner) og eksponenter (som kun kan være positive heltal).
Polynomier består af begrænsede termer, hvert udtryk er et udtryk, der indeholder et eller flere af de tre elementer, som de er lavet med: variabler, konstanter eller eksponenter. For eksempel: 9, 9x, 9xy er alle udtryk. En anden måde at identificere termerne er, at de adskilles ved addition og subtraktion.
For at løse, forenkle, tilføje eller trække polynomer skal du sammenføje vilkårene med de samme variabler som for eksempel udtrykene med x, udtrykkene med "y" og de termer, der ikke har variabler. Det er også vigtigt at se på tegnet før udtrykket, der bestemmer, om der skal tilføjes, trækkes eller multipliceres. Termer med de samme variabler er grupperet, tilføjet eller trukket.
Typer af polynomer
Antallet af udtryk, som et polynom har, vil indikere, hvilken type polynom det er, for eksempel, hvis der er et polynom med et enkelt udtryk, så står det over for et monomium. Et klart eksempel på dette er en af de polynomiske øvelser (8xy). Der er også det tosigtede polynom, der kaldes et binomium og identificeres ved følgende eksempel: 8xy - 2y.
Endelig er polynomet af tre udtryk, der er kendt som trinomier og identificeres ved en af de polynomiske øvelser af 8xy - 2y + 4. Trinomials er en type algebraisk udtryk dannet af summen eller forskellen på tre termer eller monomier (lignende monomier).
Det er også vigtigt at tale om graden af polynom, for hvis det er en enkelt variabel, er det den største eksponent. Graden af et polynom med mere end en variabel bestemmes af udtrykket med den største eksponent.
Tilsætning og subtraktion af polynomer
Summen af polynomer involverer en kombination af termer. Lignende udtryk henviser til monomier, der har den samme variabel eller variabler hævet til samme styrke.
Der er forskellige måder at udføre polynomiske beregninger på, inklusive summen af polynomier, som kan udføres på to forskellige måder: vandret og lodret.
- Tilføjelse af polynomer vandret: det bruges til at udføre operationer vandret for redundans, men først skrives et polynom, og derefter følges det på samme linje. Derefter skrives det andet polynom, der skal tilføjes eller trækkes, og til sidst grupperes de lignende termer.
- Lodret sum af polynomer: det opnås ved at skrive det første polynom på en ordnet måde. Hvis dette er ufuldstændigt, er det vigtigt at lade hullerne i de manglende vilkår være fri. Derefter skrives det næste polynom lige under det forrige, på denne måde vil udtrykket svarende til det ovenstående være under. Endelig tilføjes hver kolonne.
Det er vigtigt at tilføje, at for at tilføje to polynomer skal koefficienterne for termerne af samme grad tilføjes. Resultatet af at tilføje to udtryk af samme grad er et andet udtryk af samme grad. Hvis der mangler et udtryk i nogen af graderne, kan det afsluttes med 0. Og de ordnes generelt fra højeste til laveste grad.
Som nævnt ovenfor behøver du kun at tilføje vilkårene i samme grad for at udføre summen af to polynomer. Egenskaberne ved denne operation består af:
- Associerende egenskaber: hvor summen af to polynomer løses ved at tilføje de koefficienter, der ledsager x'erne, der stiger til samme styrke.
- Kommutativ ejendom: som ændrer rækkefølgen for tilføjelsen, og resultatet kan ikke udledes. De neutrale elementer, som har alle deres koefficienter lig med 0. Når der tilføjes et polynom til det neutrale element, er resultatet lig med det første.
- Modsat egenskab: dannet af polynomet, der har alle koefficienterne omvendt til koefficienterne for det samlede polynom. således, når resultatet af additionsoperationen er nullpolynomet.
Med hensyn til subtraktion af polynomer (operationer med polynomer) er det bydende nødvendigt at gruppere monomier efter de egenskaber, de besidder, og begynde med forenkling af dem, der var ens. Operationer med polynomer udføres ved at tilføje det modsatte af subtrahend til minuend.
En anden effektiv måde at gå videre med at fratrække polynomer er at skrive det modsatte af hvert polynom under hinanden. Således forbliver lignende monomier i kolonner, og vi fortsætter med at tilføje dem. Det betyder ikke noget, hvilken teknik der udføres, i sidste ende vil resultatet altid være det samme, selvfølgelig, hvis det gøres korrekt.
Multiplikation af polynomer
Multiplikation af monomier eller øvelser mellem polynomier og monomier, det er en operation, der udføres for at finde det resulterende produkt mellem et monomium (algebraisk udtryk baseret på multiplikation af et tal og et bogstav hævet til en positiv heltalsexponent) og en anden udtryk, hvis dette er et uafhængigt udtryk, et andet monomium eller endda et polynom (endelig sum af monomier og uafhængige udtryk).
Men som med næsten alle matematiske operationer har multiplikationen af polynomer også en række trin, der skal følges, når man løser den foreslåede operation, som kan opsummeres i følgende procedurer:
Den første ting at gøre er at multiplicere monomialet med dets udtryk (multiplicere tegnene på hvert af dets udtryk). Derefter multipliceres koefficientværdierne, og når værdien findes i denne operation, tilføjes bogstavet af monomierne, der findes i termerne. Derefter skrives hvert resultat ned i alfabetisk rækkefølge, og til sidst tilføjes hver eksponent, som er placeret i basislitteraturen.
Polynomial Division
Også kendt som Ruffini-metoden. Det giver os mulighed for at dele et polynom med et binomium og giver os også mulighed for at finde rødderne til et polynom for at faktorere det i binomier. Med andre ord gør denne teknik det muligt at opdele eller nedbryde et algebraisk polynom af grad n i et algebraisk binomium og derefter til et andet algebraisk polynom af grad n-1. Og for at dette skal være muligt, er det nødvendigt at kende eller kende mindst en af rødderne til det unikke polynom, for at adskillelsen skal være nøjagtig.
Det er en effektiv teknik til at dividere et polynom med et binomium med formen x - r. Ruffinis regel er et specielt tilfælde af syntetisk opdeling, når divisoren er en lineær faktor. Ruffinis metode blev beskrevet af den italienske matematiker, professor og læge Paolo Ruffini i 1804, der ud over at opfinde den berømte metode kaldet Ruffinis regel, som hjælper med at finde koefficienterne til resultatet af fragmenteringen af et polynom af binomial; Han opdagede og formulerede også denne teknik på den omtrentlige beregning af ligningernes rødder.
Når det kommer til en algebraisk operation, involverer Ruffinis regel som altid en række trin, der skal udføres for at nå det ønskede resultat, i dette tilfælde: find kvotienten og resten, der er forbundet med delingen af enhver form for polynom og en binomial af form x + r.
For det første skal udtrykkene gennemgås for at kontrollere eller afgøre, om de virkelig behandles som polynomer og binomier, der reagerer på den forventede form ved hjælp af Ruffini Rule-metoden, når operationen startes.
Når disse trin er bekræftet, ordnes polynomet (i faldende rækkefølge). Efter dette trin tages kun koefficienterne i polynomets vilkår (op til den uafhængige) i betragtning og placeres i en række fra venstre mod højre. Nogle rum er tilbage til de betingelser, der er nødvendige (kun i tilfælde af et ufuldstændigt polynom). Kabyssetegnet er placeret til venstre for rækken, der består af koefficienter for udbyttepolynomet.
I venstre del af galleriet fortsætter vi med at placere binomialets uafhængige betegnelse, som nu er en skillevæg, og dets tegn er invers. Det uafhængige ganges med polynomets første koefficient og registreres således i en anden række under den første. Derefter trækkes den anden koefficient og produktet af det uafhængige monomiale udtryk af den første koefficient.
Binomialets uafhængige udtryk ganges med resultatet af den forrige subtraktion. Men også, det er placeret i anden række, hvilket svarer til den fjerde koefficient. Operationen gentages, indtil alle vilkår er nået. Den tredje række, der er opnået baseret på disse multiplikationer, tages som et kvotient med undtagelse af dets sidste periode, som vil blive betragtet som resten af divisionen.
Resultatet udtrykkes, ledsager hver koefficient for variablen og den grad, der svarer til den, og begynder at udtrykke dem med en lavere grad end den, de oprindeligt havde.
- Resten sætning: det er en praktisk metode, der bruges til at dele et polynom P (x) med en anden, hvis form er xa; hvor kun værdien af resten opnås. For at anvende denne regel følges følgende trin. Det polynomiske udbytte skrives uden at udfylde eller bestille, så udskiftes variablen x af udbyttet med den modsatte værdi af divisorens uafhængige sigt. Og endelig løses operationerne i kombination.
Resten sætning er en metode, hvormed vi kan opnå resten af en algebraisk opdeling, men hvor det ikke er nødvendigt at foretage nogen opdeling.
- Ruffinis metode: Ruffinis metode eller regel er en metode, der giver os mulighed for at dividere et polynom med et binomium og også give os mulighed for at lokalisere rødderne til et polynom for at faktorere i binomier. Med andre ord gør denne teknik det muligt at opdele eller nedbryde et algebraisk polynom af grad n, i et algebraisk binomium og derefter til et andet algebraisk polynom af grad n-1. Og for at dette skal være muligt, er det nødvendigt at kende eller kende mindst en af rødderne til det unikke polynom, for at adskillelsen skal være nøjagtig.
- Rødder af polynomer: Rødderne til et polynom er visse tal, der gør et polynom værd nul. Vi kan også sige, at de komplette rødder til et polynom af heltalskoefficienter vil være delere af det uafhængige udtryk. Når vi løser et polynom, der er lig med nul, får vi polynomets rødder som løsninger. Som egenskaber ved rødderne og faktorer af polynomer kan vi sige, at nul eller rødder på et polynom er ved delerne af det uafhængige udtryk, der hører til polynomet.
Dette giver os mulighed for at finde ud af den resterende del af et polynom p (x) med en anden af formen xa, for eksempel. Fra denne sætning følger det, at et polynom p (x) kun kan deles med xa, hvis a er en rod af polynomet, kun hvis og kun hvis p (a) = 0. Hvis C (x) er kvotienten og R (x) er resten af delingen af et hvilket som helst polynom p (x) med et binomium, der ville være (xa) den numeriske værdi af p (x), for x = a er det lig med resten af dets division med xa.
Så vil vi sige, at: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Generelt er det mere bekvemt at anvende Ruffinis regel end at erstatte x for at opnå resten af en division med Xa. Derfor er resten af sætningen den mest egnede metode til løsning af problemer.
I den matematiske verden er Ruffinis regel en effektiv teknik til at dividere et polynom med et binomium af formen x - r. Ruffinis regel er et specielt tilfælde af syntetisk opdeling, når divisoren er en lineær faktor.
Ruffinis metode blev beskrevet af den italienske matematiker, professor og læge Paolo Ruffini i 1804, der ud over at opfinde den berømte metode kaldet Ruffinis regel, som hjælper med at finde koefficienterne til resultatet af fragmenteringen af et polynom af binomial; Han opdagede og formulerede også denne teknik på den omtrentlige beregning af ligningernes rødder.
Derefter svarer for hver rod f.eks. Af typen x = a til et binomium af typen (xa). Det er muligt at udtrykke et polynom i faktorer, hvis vi udtrykker det som et produkt eller af alle binomier af typen (xa), der svarer til rødderne, x = a, det resultat. Det skal tages i betragtning, at summen af eksponenterne for binomierne er lig med graden af polynomet, det skal også tages i betragtning, at ethvert polynom, der ikke har et uafhængigt udtryk, indrømmer som rod x = 0, på en anden måde vil det indrømme som en X-faktor.
Vi vil kalde et polynom "prime" eller "Irreducible", når der ikke er nogen mulighed for at indregne det i faktorer.
For at dykke ned i emnet skal vi være klar over algebraens grundlæggende sætning, der siger, at det er nok, at et polynom i en ikke-konstant variabel og kompleks koefficient har lige så mange rødder som dets grad, da rødderne har deres mangfoldighed. Dette bekræfter, at enhver algebraisk ligning af grad n har n komplekse løsninger. Et polynom af grad n har maksimalt n reelle rødder.
Eksempler og øvelser
I dette afsnit placeres nogle algebraiske udtryk, løste øvelser for hvert af de emner, der er dækket af dette indlæg.
Øvelser med algebraiske udtryk:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Summen af polynomer
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Subtraktion af polynomer
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Polynomial Division
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 og
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Algebraiske udtryk (binomial kvadrat)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Resten sætning
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Multiplikation af monomier
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Opdeling af monomier
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 og
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6-6
v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Tilsætning og subtraktion af monomier
Øvelse: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Løsning: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5-2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
